解放軍文職招聘考試方程與線性代數(shù)-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育

發(fā)布時間:2017-11-2219:38:23方程與線性代數(shù)直到18世紀,方程與代數(shù)學幾乎是同義語.18世紀,人們對方程所關注的問題之一是證明每一個一元n次方程有n個根,同時人們在采否任何實系數(shù)多項式都能分解成線性因式的乘積,解決這個問題的關鍵就在于證明:每一個一元n次多項式至少有一個實根或復根,這就是我們今天熟悉的代數(shù)學基本定理.歐拉、達朗貝爾、拉格朗日在18世紀70年代都試圖證明這個定理,但他們的證明都不完全正確.第一個對代數(shù)基本定理做出嚴格證明的是德國數(shù)學家高斯,他的證明是1799年在其博士論文中給出的.其方法不是去計算一個根,而是去證明它的存在.他的證明富有高度創(chuàng)造性,開創(chuàng)了探討數(shù)學中整個存在性問題的新途徑,打破了存在的準則就是可構造性的傳統(tǒng)觀念,對于19世紀數(shù)學的發(fā)展具有重要意義.在數(shù)學中,開始了構造性數(shù)學與非構造性數(shù)學并駕齊驅的時代.人們對方程感興趣的另一個原因,是試圖求解四次以上的方程.這一時期人們曾把問題集中在求解二項方程xn-1=0上.科茨和棣莫弗用復數(shù)證明了:解這個方程相當于把圓周分成n等分.于是人們又稱xn-1=0為分圓方程.關于這個方程的有價值的工作是高斯在19世紀作出的.求解一般的四次方程問題引起了歐拉、拉格朗日等人的關注,其中拉格朗日和范德蒙(A.Vandermonde,17351796)作出了杰出的貢獻.對于用根式解方程的問題,從1767年起拉格朗日寫了一系列論文.他的做法是,看是否有一種普遍的方法,能把任意次數(shù)的方程化為次數(shù)較低的方程.經過詳盡的研究,他發(fā)現(xiàn),對于二次、三次或四次方程,借助于一個低一次的輔助方程便可獲得方程之解,但把這種方法用于方程ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0時,輔助方程卻是六次的,因此他想大概不能求得四次以上方程的解.隨后拉格朗日又換一個角度,轉而研究一般方程xn+a1xn-1++an-1x+an=0的根x1,x2,,xn的函數(shù)(x1,x2,,xn)的置換對稱等性質.作為19世紀數(shù)學家的先驅,18世紀許多數(shù)學家研究了方程根的性質.設x1,x2,,xn是方程xn+a1xn-1++an-1x+an=0的根.令Sk=x1k+x2k++xnk,牛頓得到了今天稱之為牛頓等式的結果:1762年,華林(E.Waring,17341798)證明了,所有關于根的有理對稱函數(shù)都可以表示為方程系數(shù)的有理函數(shù),并得到了:牛頓還得到了方程的根與其判別式D的關系:其中x1,x2,,xn是方程a0xn+a1xn-1++an-1x+an=0的根.此外,范德蒙等人也進行了大量的工作.18世紀由方程的研究引入了對方程根x1,x2,,xn所生成的函數(shù)的研究,并由此引入了初等對稱、置換等一系列新的術語.所有這些工作,都為19世紀代數(shù)學的巨大發(fā)展做好了充分準備.在1678年以前,萊布尼茨就開始了對線性方程組、行列式的研究,對消元法從理論上進行了探討.在1693年4月28日致洛必達(G.F.A.LHospital)的信中,他提出了行列式的概念:我引進方程:此外,在兩個數(shù)碼中,前者表示此數(shù)所屬的方程式,后者代表此數(shù)所屬的字母(未知數(shù)).隨后,他給出了一般的運算規(guī)則,這種規(guī)則就是行列式的運算規(guī)則.這樣,他創(chuàng)設了采用兩個數(shù)碼的系數(shù)記號,相當于現(xiàn)在的aik,即上述方程組中的10,11,12,,31,32為a10,a11,a12,,a31,a32.為矩陣和行列式一般理論的發(fā)展提供了方便的工具.沿著萊布尼茨的思路,18世紀人們做了發(fā)揮.1729年左右馬克勞林提出了用行列式解含有兩個、三個和四個未知量的聯(lián)立線性方程組的解法.1750年,克萊姆(G.Cramer,17041752)在《線性代數(shù)分析導言》一書中給出了今天我們熟知的行列式展開的克萊姆法則(公式).1764年,貝祖(E.Bzout,1730(或1739)1783)用行列式理論建立了線性方程組的一般理論,他給出了含n個量的n個齊次線性方程,并且證明了:系數(shù)行列式等于零是方程組有非零解的條件.范德蒙第一個系統(tǒng)研究了行列式理論,而不像其他人一樣僅僅把行列式作為求解方程組的工具.他給出了用行列式的二階子式和余子式展開行列式的規(guī)則.由于他脫離方程組來研究行列式,因此他被認為是行列式理論的奠基人.1772年,拉普拉斯給出了今天的拉普拉斯定理:假定在n階行列式D中,取定某k個行(1kn),那么在這k個行中所有k階子式分別與其代數(shù)余子式乘積的和就是D.18世紀數(shù)學家們討論了多元高次方程組,這個問題是由研究高次代數(shù)曲線f(x,y)=0,g(x,y)=0的交點數(shù)而引起的.1764年,貝祖給出了從f(x,y)=0,g(x,y)=0中消去一個未知量的方法,并于1779年公布于眾.貝祖給出了解決這個問題的消元法,并得到了這樣的結論:兩條代數(shù)曲線的交點數(shù)是mn,即f(x,y)=0,g(x,y)=0的次數(shù)的乘積.18世紀,數(shù)學家們還考慮了求解兩個多項式f(x)=a0xn+a1xn-1++an=0,有公共解的條件:關于有公共解時系數(shù)必須滿足的條件稱為消去式或結式.牛頓第一個研究了這個問題,他在1707年出版的《普遍的算術》中給出了從兩個方程中消去x的法則.歐拉、貝祖后來給出了更一般的方法.在1764~1769年的《數(shù)學教程》(Coursdemathmatique)中,貝祖給出了一般的方法:f(x),(x)的結式等于一個行列式,這個行列式由n-1次(或更低次)的多項式gk(x)=(a0xk-1+a1xk-2++ak-1)(x)-(b0xk-1+b1xk-2++bk-1)f(x)(k=1,2,,n)的系數(shù)組成.這就是今天熟知的貝祖方法.在整個18世紀,線性代數(shù)主要是行列式理論和消元法理論,這兩個理論在這個世紀還是很有成就的.由于牛頓、歐拉、貝祖、拉格朗日、拉普拉斯的工作,具體解方程(一元高次方程,多元高次方程組,線性方程組)的方法在18世紀已相當完備了.而整個線性代數(shù)則處于萌芽起步階段.

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勾股定理相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn),比畢達哥拉斯早500多年。 公元前1世紀的《周髀算經》和東漢時期的《九章算術》是最著名的中古代數(shù)學著作。 算盤的最早記載是公元190年。明清兩代,算盤成為當時工商業(yè)貿易中不可缺少的工具。算盤攜帶方便,運算準確迅速,即便是現(xiàn)在,仍發(fā)揮著巨大作用。 三時期,劉徽運用割圓術求圓周率=。南北朝時期的數(shù)學家祖沖之又將圓周率進一步精確到~之間。 唐代僧一行創(chuàng)立了不等間距二次內插法,王孝通得到求解三次方程的方法;宋元時期得到關于高次方程組的求解法一次同余式解法。這些成果都處于當時的領先地位。